Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x + 1$ và $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.7

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 2.8

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{x - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4

Nhân $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.1.4.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x - 1 - x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Trừ $x$ khỏi $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.2.2

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.4.3

Trừ $1$ khỏi $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$