Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x + 2}{x^{2} - 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3} + 3 x + 2$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x + 2] - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 3 x + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Cộng $3 x^{2} + 3$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.5

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 4.6

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - (x^{3} + 3 x + 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) + (- x^{3} - (3 x) - 1 \cdot 2) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Khai triển $(x^{2} - 1) (3 x^{2} + 3)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} (3 x^{2} + 3) - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2} + 3) - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.2.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.2.3

Cộng $2$ và $2$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{2} \cdot 3 - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 \cdot x^{2} - 1 (3 x^{2}) - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.4

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 1 \cdot 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.1.5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{3 x^{4} + 3 x^{2} - 3 x^{2} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + 0 - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.2.3

Cộng $3 x^{4}$ và $0$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - x^{3} (2 x) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{3} x - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.4

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.2

Nhân $x$ với $x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.4.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{1 + 3} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.4.3

Cộng $1$ và $3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 1 \cdot 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x) (2 x) - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.6

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.6.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 (x \cdot x)) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.6.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - (3 x^{2}) \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 3 x^{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.8

Nhân $2$ với $- 3$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.9

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 2 (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.1.10

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{3 x^{4} - 3 - 2 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.3.2

Trừ $2 x^{4}$ khỏi $3 x^{4}$ .

$\frac{x^{4} - 3 - 6 x^{2} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Bước 5.5

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Bước 5.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Bước 5.5.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 3}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$