Giải tích Ví dụ

$\frac{14}{\sqrt[3]{14 x + 1}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 14$ và $g (x) = \sqrt[3]{14 x + 1}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \frac{d}{d x} [14] - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $14$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $14$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{14 x + 1}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{14 x + 1}$ ở dạng ${(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{d}{d x} [{(14 x + 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 14 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $14 x + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $14 x + 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3} {(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{{(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển ${(14 x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [14 x + 1])}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $14 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 10

Vì $14$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $14 x$ đối với $x$ là $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 12

Nhân $14$ với $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + \frac{d}{d x} [1]))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 13

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} (14 + 0))}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $14$ và $0$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 (\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 14)}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{1}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ và $14$ .

$\frac{\sqrt[3]{14 x + 1} \cdot 0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.1

Nhân $\sqrt[3]{14 x + 1}$ với $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.1.1.2

Nhân $- 1$ với $14$ .

$\frac{0 - 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.1.1.3

Nhân $- 14 \frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1.3.1

Kết hợp $- 14$ và $\frac{14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{0 + \frac{- 14 \cdot 14}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.1.1.3.2

Nhân $- 14$ với $14$ .

$\frac{0 + \frac{- 196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.1.1.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{0 - \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.1.2

Trừ $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ khỏi $0$ .

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}}$

Bước 15.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.2.1

Viết lại ${\sqrt[3]{14 x + 1}}^{2}$ ở dạng $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

Bước 15.2.2

Viết lại $\frac{- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ ở dạng một tích.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$

Bước 15.2.3

Nhân $\frac{1}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}}$ với $\frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{196}{\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}} (3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 15.2.4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{{(14 x + 1)}^{2}}$ ở dạng ${(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{196}{3 ({(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Bước 15.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Bước 15.2.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Bước 15.2.7

Cộng $2$ và $2$ .

$- \frac{196}{3 {(14 x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$