Giải tích Ví dụ

$\frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 2

Đạo hàm của $\sec (x)$ đối với $x$ là $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \tan (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 4

Đạo hàm của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) (0 + \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 5

Cộng $0$ và $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 (\sec (x) \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nhân $\sec (x) \tan (x)$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $\tan (x) (\sec (x) \tan (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.2.1

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.2.2

Nâng $\tan (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.2.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.2.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.3

Nhân $\sec (x)$ với $\sec^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.1

Di chuyển $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.3.2

Nhân $\sec^{2} (x)$ với $\sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.3.2.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.1.3.3

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.4

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.2.5

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.3

Sắp xếp lại $\tan^{2} (x)$ và $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.7

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.9

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.10

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.2.11

Viết lại $- 1 \sec (x)$ ở dạng $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.3.2

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Bước 6.3.3

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$