Giải tích Ví dụ

$y = 5 x^{3} \sin (2 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 5 x^{3}$ và $g (x) = \sin (2 x)$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$5 x^{3} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$5 x^{3} (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$5 x^{3} (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$5 x^{3} (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3}]$

Bước 3.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 x^{3}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (5 (3 x^{2}))$

Bước 3.6

Nhân $3$ với $5$ .

$5 x^{3} (2 \cos (2 x)) + \sin (2 x) (15 x^{2})$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $2$ với $5$ .

$10 x^{3} \cos (2 x) + \sin (2 x) (15 x^{2})$

Bước 4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$10 x^{3} \cos (2 x) + 15 x^{2} \sin (2 x)$