Giải tích Ví dụ

$y = 3 x^{3} (4 x^{4} - 7 x^{3})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 3 x^{3}$ và $g (x) = 4 x^{4} - 7 x^{3}$ .

$3 x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} - 7 x^{3}] + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{4} - 7 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

$3 x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{4}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$3 x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 3.3

Nhân $4$ với $4$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 4

Tính $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $- 7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 7 x^{3}$ đối với $x$ là $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 7 (3 x^{2})) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 4.3

Nhân $3$ với $- 7$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) \frac{d}{d x} [3 x^{3}]$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{3}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (3 (3 x^{2}))$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $3$ .

$3 x^{3} (16 x^{3} - 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + (4 x^{4} - 7 x^{3}) (9 x^{2})$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 x^{3} (16 x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $16$ với $3$ .

$48 x^{3} x^{3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$48 (x^{3} x^{3}) + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$48 x^{3 + 3} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.2.3

Cộng $3$ và $3$ .

$48 x^{6} + 3 x^{3} (- 21 x^{2}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.3

Nhân $- 21$ với $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{3} x^{2} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.4

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3}) + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$48 x^{6} - 63 x^{2 + 3} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.4.3

Cộng $2$ và $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 4 x^{4} (9 x^{2}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.5

Nhân $9$ với $4$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{4} x^{2} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.6

Nhân $x^{4}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.6.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 (x^{2} x^{4}) - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.6.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{2 + 4} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.6.3

Cộng $2$ và $4$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 7 x^{3} (9 x^{2})$

Bước 6.3.7

Nhân $9$ với $- 7$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{3} x^{2}$

Bước 6.3.8

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.8.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 (x^{2} x^{3})$

Bước 6.3.8.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{2 + 3}$

Bước 6.3.8.3

Cộng $2$ và $3$ .

$48 x^{6} - 63 x^{5} + 36 x^{6} - 63 x^{5}$

Bước 6.3.9

Cộng $48 x^{6}$ và $36 x^{6}$ .

$84 x^{6} - 63 x^{5} - 63 x^{5}$

Bước 6.3.10

Trừ $63 x^{5}$ khỏi $- 63 x^{5}$ .

$84 x^{6} - 126 x^{5}$