Giải tích Ví dụ

$\frac{r}{\sqrt{r^{2} + 1}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ là $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ trong đó $f (r) = r$ và $g (r) = \sqrt{r^{2} + 1}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [\sqrt{r^{2} + 1}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 2.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r^{2} + 1}$ ở dạng ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ và $g (r) = r^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r^{2} + 1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2} {(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{{(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 8.3

Di chuyển ${(r^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [r^{2} + 1])}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $r^{2} + 1$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + \frac{d}{d r} [1]))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 11

Vì $1$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $1$ đối với $r$ là $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r + 0))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 12

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Cộng $2 r$ và $0$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 r))}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 12.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r (\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} r)}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 12.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 12.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{2 r}{2 {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 12.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} \cdot 1 - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Nhân $\sqrt{r^{2} + 1}$ với $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.1.2

Nhân $- r \frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.2.1

Kết hợp $\frac{r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ và $r$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r \cdot r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.1.2.2

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.1.2.3

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1} r^{1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.1.2.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{1 + 1}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.1.2.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\sqrt{r^{2} + 1} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.2

Để viết $\sqrt{r^{2} + 1}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1

Nhân $\sqrt{r^{2} + 1} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r^{2} + 1}$ ở dạng ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.4.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{{(r^{2} + 1)}^{1} - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.2

Rút gọn.

$\frac{\frac{r^{2} + 1 - r^{2}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.3

Trừ $r^{2}$ khỏi $r^{2}$ .

$\frac{\frac{0 + 1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.1.4.4

Cộng $0$ và $1$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}}$

Bước 13.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Viết lại ${\sqrt{r^{2} + 1}}^{2}$ ở dạng $r^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{r^{2} + 1}$ ở dạng ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{({(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 13.2.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 13.2.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 13.2.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Bước 13.2.1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(r^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 13.2.1.5

Rút gọn.

$\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$

Bước 13.2.2

Viết lại $\frac{\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{r^{2} + 1}$ ở dạng một tích.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{r^{2} + 1}$

Bước 13.2.3

Nhân $\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{r^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (r^{2} + 1)}$

Bước 13.2.4

Nhân ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $r^{2} + 1$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1

Nhân ${(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ với $r^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.4.1.1

Nâng $r^{2} + 1$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(r^{2} + 1)}^{1}}$

Bước 13.2.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Bước 13.2.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Bước 13.2.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Bước 13.2.4.4

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{{(r^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$