Giải tích Ví dụ

$e^{x} (x^{2} + 1) (x + 4)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x} (x^{2} + 1)$ và $g (x) = x + 4$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Bước 2.3

Vì $4$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Bước 2.4

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [e^{x} (x^{2} + 1)]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = x^{2} + 1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x + 0) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 4.4

Cộng $2 x$ và $0$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + (x^{2} + 1) e^{x})$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + 1 e^{x})$

Bước 6.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (e^{x} (2 x) + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x})$

Bước 6.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $2 e^{x} x + e^{x} x^{2} + e^{x}$ .

$e^{x} (x^{2} + 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot 1) \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$e^{x} x^{2} \cdot 1 + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7.3

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot 1 \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7.3.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 1 + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7.3.3

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} + (x + 4) (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x})$

Bước 7.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{x} x^{2} + (2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4) + e^{x}$

Bước 7.5

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Khai triển $(2 x e^{x} + x^{2} e^{x} + e^{x}) (x + 4)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$e^{x} x^{2} + 2 x e^{x} x + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1.1

Di chuyển $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 (x \cdot x) e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} \cdot 4 + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{2} e^{x} x + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.3

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.3.1

Di chuyển $x$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x \cdot x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.3.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1} x^{2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.3.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{1 + 2} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.3.3

Cộng $1$ và $2$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + x^{2} e^{x} \cdot 4 + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 \cdot (x^{2} e^{x}) + e^{x} x + e^{x} \cdot 4 + e^{x}$

Bước 7.5.2.5

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 2 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.5.3

Cộng $2 x^{2} e^{x}$ và $4 x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x^{3} e^{x} + e^{x} x + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.5.4

Cộng $8 x e^{x}$ và $e^{x} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.4.1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $x$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 8 x e^{x} + x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.5.4.2

Cộng $8 x e^{x}$ và $x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.6

Cộng $e^{x} x^{2}$ và $6 x^{2} e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.6.1

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.6.2

Cộng $x^{2} e^{x}$ và $6 x^{2} e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 4 e^{x} + e^{x}$

Bước 7.7

Cộng $4 e^{x}$ và $e^{x}$ .

$7 x^{2} e^{x} + 9 x e^{x} + x^{3} e^{x} + 5 e^{x}$