Giải tích Ví dụ

$\sqrt[15]{7 x + 5}$

Bước 1

Không thể hoàn thành đạo hàm này bằng quy tắc tích số. Mathway sẽ sử dụng một phương pháp khác.

Bước 2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[15]{7 x + 5}$ ở dạng ${(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x + 5)}^{\frac{1}{15}}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{15}}$ và $g (x) = 7 x + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{15}}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{15}$ .

$\frac{1}{15} u^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x + 5$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{15}{15}$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $15$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{1 - 15}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 7.2

Trừ $15$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{\frac{- 14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{15} {(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 8.2

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ .

$\frac{{(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}}{15} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 8.3

Di chuyển ${(7 x + 5)}^{- \frac{14}{15}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Bước 9

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 10

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 11

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 12

Nhân $7$ với $1$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + \frac{d}{d x} [5])$

Bước 13

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} (7 + 0)$

Bước 14

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Cộng $7$ và $0$ .

$\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}} \cdot 7$

Bước 14.2

Kết hợp $\frac{1}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$ và $7$ .

$\frac{7}{15 {(7 x + 5)}^{\frac{14}{15}}}$