Giải tích Ví dụ

$f (x) = (1 + 7 x^{2}) (x - x^{2})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = 1 + 7 x^{2}$ và $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 7 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(1 + 7 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 7 x^{2}]$

Bước 4.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + 7 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Bước 4.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [7 x^{2}])$

Bước 5

Tính $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x^{2}$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 7 (2 x))$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $7$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (0 + 14 x)$

Bước 6

Cộng $0$ và $14 x$ .

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + (x - x^{2}) (14 x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x + 1) + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(1 + 7 x^{2}) (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + (1 + 7 x^{2}) \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 (- 2 x) + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$- 2 x + 7 x^{2} (- 2 x) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.2

Nhân $- 2$ với $7$ .

$- 2 x - 14 x^{2} x + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 x - 14 (x^{1} x^{2}) + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x - 14 x^{1 + 2} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.5

Cộng $1$ và $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 \cdot 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.6

Nhân $1$ với $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} \cdot 1 + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.7

Nhân $7$ với $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + x (14 x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 (x^{1} x^{1}) - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.10

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{1 + 1} - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.11

Cộng $1$ và $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - x^{2} (14 x)$

Bước 7.5.12

Nhân $14$ với $- 1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{2} x$

Bước 7.5.13

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 (x^{1} x^{2})$

Bước 7.5.14

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{1 + 2}$

Bước 7.5.15

Cộng $1$ và $2$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 7 x^{2} + 14 x^{2} - 14 x^{3}$

Bước 7.5.16

Cộng $7 x^{2}$ và $14 x^{2}$ .

$- 2 x - 14 x^{3} + 1 + 21 x^{2} - 14 x^{3}$

Bước 7.5.17

Trừ $14 x^{3}$ khỏi $- 14 x^{3}$ .

$- 2 x - 28 x^{3} + 1 + 21 x^{2}$

Bước 7.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 28 x^{3} + 21 x^{2} - 2 x + 1$