Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} \sin (8 x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (8 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (8 x)] + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) (8 \cdot 1)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $8$ với $1$ .

$x^{2} (\cos (8 x) \cdot 8) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.3.2

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $\cos (8 x)$ .

$x^{2} (8 \cdot \cos (8 x)) + \sin (8 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} (8 \cos (8 x)) + \sin (8 x) (2 x)$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 x^{2} \cos (8 x) + 2 x \sin (8 x)$