Giải tích Ví dụ

$4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 y^{3}$ đối với $y$ là $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Bước 2.3

Nhân $3$ với $4$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ ở dạng ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ và $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.4

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)$

Bước 3.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)$

Bước 3.11

Cộng $0$ và $2 y$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)$

Bước 3.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)$

Bước 3.13

Kết hợp $2$ và $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y$

Bước 3.14

Kết hợp $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $y$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Bước 3.15

Di chuyển ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.16

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.17

Viết lại biểu thức.

$12 y^{2} + \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$