Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin (2 x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sin (2 x)$ .

$x (- \frac{1}{2} \cos (2 x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\cos (2 x)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x (- \frac{\cos (2 x)}{2})]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Bước 3

Vì $- \frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x)$

Bước 4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (2 x) d x$

Bước 5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Bước 5.3

Nhân $2$ với $0$ .

$u_{lower} = 0$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 5.5

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Bước 5.5.2

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = π$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Bước 6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Bước 7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Bước 8.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \int_{0}^{π} \cos (u) d u$

Bước 9

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (2 x)}{2}]_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Bước 10

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Tính $- \frac{x \cos (2 x)}{2}$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} \sin (u)]_{0}^{π}$

Bước 10.2

Tính $\sin (u)$ tại $π$ và tại $0$ .

$(- \frac{\frac{π}{2} \cos (2 \frac{π}{2})}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{π}{2}$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (\frac{2 π}{2})}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.2.2

Chia $π$ cho $1$ .

$- \frac{\frac{π}{2} \cos (π)}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.3

Kết hợp $\frac{π}{2}$ và $\cos (π)$ .

$- \frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.4

Viết lại $\frac{\frac{π \cos (π)}{2}}{2}$ ở dạng một tích.

$- (\frac{π \cos (π)}{2} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.5

Nhân $\frac{π \cos (π)}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{2 \cdot 2} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.6

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (2 \cdot 0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.7

Nhân $2$ với $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0 \cos (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.8

Nhân $0$ với $\cos (0)$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 (0)}{2} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{0}{1} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + 0 + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.10

Cộng $- \frac{π \cos (π)}{4}$ và $0$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} ((\sin (π)) - \sin (0))$

Bước 10.3.11

Để viết $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot \frac{4}{4}$

Bước 10.3.12

Kết hợp $\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0))$ và $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{π \cos (π)}{4} + \frac{\frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Bước 10.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{1}{4} (\sin (π) - \sin (0)) \cdot 4}{4}$

Bước 10.3.14

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Bước 10.3.15

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.15.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- π \cos (π) + \frac{4}{4} (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Bước 10.3.15.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- π \cos (π) + 1 (\sin (π) - \sin (0))}{4}$

Bước 10.3.16

Nhân $\sin (π) - \sin (0)$ với $1$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - \sin (0)}{4}$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) - 0}{4}$

Bước 11.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π) + 0}{4}$

Bước 11.3

Cộng $- π \cos (π) + \sin (π)$ và $0$ .

$\frac{- π \cos (π) + \sin (π)}{4}$

Bước 11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- π \cos (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) + \sin (π)}{4}$

Bước 11.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $\sin (π)$ .

$\frac{- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))}{4}$

Bước 11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (π \cos (π)) - 1 (- \sin (π))$ .

$\frac{- (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Bước 11.7

Viết lại $- (π \cos (π) - \sin (π))$ ở dạng $- 1 (π \cos (π) - \sin (π))$ .

$\frac{- 1 (π \cos (π) - \sin (π))}{4}$

Bước 11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{π \cos (π) - \sin (π)}{4}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$- \frac{π (- \cos (0)) - \sin (π)}{4}$

Bước 12.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$- \frac{π (- 1 \cdot 1) - \sin (π)}{4}$

Bước 12.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- \frac{π \cdot - 1 - \sin (π)}{4}$

Bước 12.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $π$ .

$- \frac{- 1 \cdot π - \sin (π)}{4}$

Bước 12.5

Viết lại $- 1 π$ ở dạng $- π$ .

$- \frac{- π - \sin (π)}{4}$

Bước 12.6

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$- \frac{- π - \sin (0)}{4}$

Bước 12.7

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$- \frac{- π - 0}{4}$

Bước 12.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- \frac{- π + 0}{4}$

Bước 12.9

Cộng $- π$ và $0$ .

$- \frac{- π}{4}$

Bước 12.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- - \frac{π}{4}$

Bước 12.11

Nhân $- - \frac{π}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.11.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \frac{π}{4}$

Bước 12.11.2

Nhân $\frac{π}{4}$ với $1$ .

$\frac{π}{4}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π}{4}$

Dạng thập phân:

$0.78539816 \dots$