Giải tích Ví dụ

$y - x \sin (x y)$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - x \sin (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Bước 1.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [- x \sin (x y)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x \sin (x y)$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x \sin (x y)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \sin (x y)$ .

$0 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$0 - (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$0 - (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$0 - (x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.4

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - (x (\cos (x y) (y \cdot 1)) + \sin (x y) \cdot 1)$

Bước 2.7

Nhân $y$ với $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y) \cdot 1)$

Bước 2.8

Nhân $\sin (x y)$ với $1$ .

$0 - (x (\cos (x y) y) + \sin (x y))$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$0 - (x (\cos (x y) y)) - \sin (x y)$

Bước 3.2

Trừ $- (- x (\cos (x y) y) - \sin (x y))$ khỏi $0$ .

$- x (\cos (x y) y) - \sin (x y)$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$- x y \cos (x y) - \sin (x y)$