Giải tích Ví dụ

$y = \cos (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\cos (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{d}{d x} [\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 1 - e^{8 x}$ và $g (x) = 1 + e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 - e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{8 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) \frac{d}{d x} [- e^{8 x}] - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{8 x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- \frac{d}{d x} [e^{8 x}]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x]) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x} \cdot 1) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [1 + e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{8 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{8 x}])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 5.7

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) \frac{d}{d x} [e^{8 x}]}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ là $a^{u_{3}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 6.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x])}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 7

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 7.2

Nhân $8$ với $- 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) (e^{8 x} \cdot 1)}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 7.4

Nhân $e^{8 x}$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{(1 + e^{8 x}) (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 (1 - e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) + (- 8 \cdot 1 - 8 (- e^{8 x})) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{1 (- 8 e^{8 x}) + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.1

Nhân $- 8 e^{8 x}$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + e^{8 x} (- 8 e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x} e^{8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3

Nhân $e^{8 x}$ với $e^{8 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.3.1

Di chuyển $e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 (e^{8 x} e^{8 x}) - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x + 8 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.3.3

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 \cdot 1 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.4

Nhân $- 8$ với $1$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x}) e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5

Nhân $e^{8 x}$ với $e^{8 x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.1.5.1

Di chuyển $e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- (e^{8 x} e^{8 x}))}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{8 x + 8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.5.3

Cộng $8 x$ và $8 x$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} - 8 (- e^{16 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.1.6

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- 8 e^{8 x} - 8 e^{16 x} - 8 e^{8 x} + 8 e^{16 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.4.2.1

Cộng $- 8 e^{16 x}$ và $8 e^{16 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} + 0 - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.2.2

Cộng $- 8 e^{8 x}$ và $0$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 8 e^{8 x} - 8 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.4.3

Trừ $8 e^{8 x}$ khỏi $- 8 e^{8 x}$ .

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{- 16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 8.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (- \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}})$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 9.1.2

Nhân $\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ với $1$ .

$\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) \frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 9.1.3

Kết hợp $\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})$ và $\frac{16 e^{8 x}}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$ .

$\frac{\sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}}) (16 e^{8 x})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{16 e^{8 x} \sin (\frac{1 - e^{8 x}}{1 + e^{8 x}})}{{(1 + e^{8 x})}^{2}}$