Giải tích Ví dụ

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

Bước 1

Quy tắc chuỗi nói rằng đạo hàm của $y$ đối với $x$ bằng với đạo hàm của $y$ đối với $u$ nhân với đạo hàm của $u$ đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Bước 2

Tìm $\frac{d y}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

Bước 2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

Bước 2.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.6

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 3

Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 x + 5$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $6 x$ đối với $x$ là $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.2.3

Nhân $6$ với $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$6 + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $6$ và $0$ .

$6$

Bước 4

Nhân $\frac{d y}{d u}$ với $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 5

Rút gọn vế phải $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 5.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

Bước 5.2

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

Bước 6

Thay giá trị của $u$ vào đạo hàm $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$