Giải tích Ví dụ

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

Bước 1

Quy tắc chuỗi nói rằng đạo hàm của $y$ đối với $x$ bằng với đạo hàm của $y$ đối với $u$ nhân với đạo hàm của $u$ đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Bước 2

Tìm $\frac{d y}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ là $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ trong đó $f (u) = u + 1$ và $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u + 1$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2.3

Vì $1$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $1$ đối với $u$ là $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2.4.2

Nhân $u$ với $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

Bước 2.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

Bước 2.2.6

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Bước 2.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Trừ $u$ khỏi $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Bước 2.3.2.2

Trừ $1 \cdot 1$ khỏi $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

Bước 2.3.2.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

Bước 2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{u^{2}}$

Bước 3

Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Bước 3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$6 x^{2}$

Bước 4

Nhân $\frac{d y}{d u}$ với $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

Bước 5

Rút gọn vế phải $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

Bước 5.1.2

Kết hợp $- 6$ và $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

Bước 5.1.3

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

Bước 5.2

Di chuyển $- 6$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

Bước 5.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

Bước 6

Thay giá trị của $u$ vào đạo hàm $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

Bước 7.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

Bước 7.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

Bước 7.1.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

Bước 7.2

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

Bước 7.2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Bước 7.2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

Bước 7.2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Bước 7.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

Bước 7.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$