Giải tích Ví dụ

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

Bước 1

Quy tắc chuỗi nói rằng đạo hàm của $y$ đối với $x$ bằng với đạo hàm của $y$ đối với $u$ nhân với đạo hàm của $u$ đối với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

Bước 2

Tìm $\frac{d y}{d u}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $u^{2} + u - 2$ đối với $u$ là $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

Bước 2.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $u$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $u$ là $0$ .

$2 u + 1 + 0$

Bước 2.5

Cộng $2 u + 1$ và $0$ .

$2 u + 1$

Bước 3

Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Bước 3.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Bước 4

Nhân $\frac{d y}{d u}$ với $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

Bước 5

Rút gọn vế phải $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Bước 5.2

Nhân $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Bước 5.2.2

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Bước 5.2.3

Kết hợp $\frac{- 2}{x^{2}}$ và $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

Bước 5.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 5.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 6

Thay giá trị của $u$ vào đạo hàm $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.3

Kết hợp.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.4

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.4.2

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

Bước 7.5

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$