Giải tích Ví dụ

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ là $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ trong đó $f (z) = 2 x$ và $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2 x$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $z$ là $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $z^{2} - y^{2}$ đối với $z$ là $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ là $n z^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $- y^{2}$ là hằng số đối với $z$ , đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $z$ là $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $2 z$ và $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Nhân $z^{2}$ với $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.1.2

Nhân $- y^{2} \cdot 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.2.1

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.1.2.2

Nhân $0$ với $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.1.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.1.4

Nhân $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.4.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.1.4.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $0 + 0 - 4 x z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.2.2.2

Trừ $4 x z$ khỏi $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = z$ và $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

Bước 3.4.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$