Giải tích Ví dụ

$A = 2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d A} (A) = \frac{d}{d A} (2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ là $n A^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $2000$ không đổi đối với $A$ , nên đạo hàm của $2000 {(1 + \frac{r}{12})}^{60}$ đối với $A$ là $2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$ .

$2000 \frac{d}{d A} [{(1 + \frac{r}{12})}^{60}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ là $f' (g (A)) g' (A)$ trong đó $f (A) = A^{60}$ và $g (A) = 1 + \frac{r}{12}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (\frac{d}{d u} [u^{60}] \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 60$ .

$2000 (60 u^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + \frac{r}{12}$ .

$2000 (60 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $60$ với $2000$ .

$120000 ({(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [1 + \frac{r}{12}])$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \frac{r}{12}$ đối với $A$ là $\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{d}{d A} [1] + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Bước 3.3.3

Vì $1$ là hằng số đối với $A$ , đạo hàm của $1$ đối với $A$ là $0$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (0 + \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}])$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [\frac{r}{12}]$

Bước 3.3.5

Vì $\frac{1}{12}$ không đổi đối với $A$ , nên đạo hàm của $\frac{r}{12}$ đối với $A$ là $\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r]$ .

$120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} (\frac{1}{12} \frac{d}{d A} [r])$

Bước 3.3.6

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{12}$ và $120000$ .

$\frac{120000}{12} {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.2

Kết hợp $\frac{120000}{12}$ và ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung của $120000$ và $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.3.1

Đưa $12$ ra ngoài $120000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.3.2.1

Đưa $12$ ra ngoài $12$ .

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 (1)} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{12 (10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59})}{12 \cdot 1} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}{1} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.3.6.3.2.4

Chia $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ cho $1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} \frac{d}{d A} [r]$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d A} [r]$ ở dạng $r'$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'$

Bước 5

Giải tìm $r'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ .

$10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ cho $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r' = 1$ cho $10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $10000$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung ${(1 + \frac{r}{12})}^{59}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(1 + \frac{r}{12})}^{59} r'}{{(1 + \frac{r}{12})}^{59}} = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.2.2.2

Chia $r'$ cho $1$ .

$r' = \frac{1}{10000 {(1 + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12}{12} + \frac{r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.3.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$r' = \frac{1}{10000 {(\frac{12 + r}{12})}^{59}}$

Bước 5.2.3.1.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{12 + r}{12}$ .

$r' = \frac{1}{10000 \frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Bước 5.2.3.2

Kết hợp $10000$ và $\frac{{(12 + r)}^{59}}{12^{59}}$ .

$r' = \frac{1}{\frac{10000 {(12 + r)}^{59}}{12^{59}}}$

Bước 5.2.3.3

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r' = 1 \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Bước 5.2.3.4

Nhân $\frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$ với $1$ .

$r' = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$

Bước 6

Thay thế $r'$ bằng $\frac{d r}{d A}$ .

$\frac{d r}{d A} = \frac{12^{59}}{10000 {(12 + r)}^{59}}$