Giải tích Ví dụ

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{20 r - r^{7}}$ ở dạng ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 3

Đạo hàm của $q$ đối với $r$ là $q'$ .

$q'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ và $g (r) = 20 r - r^{7}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $20 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $20 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.6.3

Di chuyển ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

Bước 4.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $20 r - r^{7}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Bước 4.8

Vì $20$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $20 r$ đối với $r$ là $20 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Bước 4.10

Nhân $20$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

Bước 4.11

Vì $- 1$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- r^{7}$ đối với $r$ là $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

Bước 4.12

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

Bước 4.13

Nhân $7$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

Bước 4.14

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.14.1

Sắp xếp lại các thừa số của $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ .

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.14.2

Nhân $20 - 7 r^{6}$ với $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $q'$ bằng $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$