Giải tích Ví dụ

$p = \frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} (p) = \frac{d}{d r} (\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}})$

Bước 2

Đạo hàm của $p$ đối với $r$ là $p'$ .

$p'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $144$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{144 r}{{(r + 0.6)}^{2}}$ đối với $r$ là $144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$ .

$144 \frac{d}{d r} [\frac{r}{{(r + 0.6)}^{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ là $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ trong đó $f (r) = r$ và $g (r) = {(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{({(r + 0.6)}^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân các số mũ trong ${({(r + 0.6)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{2 \cdot 2}}$

Bước 3.3.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.3.3

Nhân ${(r + 0.6)}^{2}$ với $1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r \frac{d}{d r} [{(r + 0.6)}^{2}]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ là $f' (g (r)) g' (r)$ trong đó $f (r) = r^{2}$ và $g (r) = r + 0.6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 u \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $r + 0.6$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - r (2 (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$144 \frac{{(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.5.2

Đưa $r + 0.6$ ra ngoài ${(r + 0.6)}^{2} - 2 r ((r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.2.1

Đưa $r + 0.6$ ra ngoài ${(r + 0.6)}^{2}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) - 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.5.2.2

Đưa $r + 0.6$ ra ngoài $- 2 r (r + 0.6) \frac{d}{d r} [r + 0.6]$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.5.2.3

Đưa $r + 0.6$ ra ngoài $(r + 0.6) (r + 0.6) + (r + 0.6) (- 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{{(r + 0.6)}^{4}}$

Bước 3.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Đưa $r + 0.6$ ra ngoài ${(r + 0.6)}^{4}$ .

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$144 \frac{(r + 0.6) (r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6])}{(r + 0.6) {(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.6.3

Viết lại biểu thức.

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \frac{d}{d r} [r + 0.6]}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $r + 0.6$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6]$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + \frac{d}{d r} [0.6])}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.9

Vì $0.6$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $0.6$ đối với $r$ là $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r (1 + 0)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.10

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Cộng $1$ và $0$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r \cdot 1}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.10.2

Nhân $- 2$ với $1$ .

$144 \frac{r + 0.6 - 2 r}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.10.3

Trừ $2 r$ khỏi $r$ .

$144 \frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.10.4

Kết hợp $144$ và $\frac{- r + 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$ .

$\frac{144 (- r + 0.6)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{144 (- r) + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.2.1

Nhân $- 1$ với $144$ .

$\frac{- 144 r + 144 \cdot 0.6}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.2.2

Nhân $144$ với $0.6$ .

$\frac{- 144 r + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.3

Đưa $28.8$ ra ngoài $- 144 r + 86.4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.3.1

Đưa $28.8$ ra ngoài $- 144 r$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 86.4}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.3.2

Đưa $28.8$ ra ngoài $86.4$ .

$\frac{28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.3.3

Đưa $28.8$ ra ngoài $28.8 (- 5 r) + 28.8 (3)$ .

$\frac{28.8 (- 5 r + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 5 r$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) + 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.5

Viết lại $3$ ở dạng $- 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r) - 1 (- 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (5 r) - 1 (- 3)$ .

$\frac{28.8 (- (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.7

Viết lại $- (5 r - 3)$ ở dạng $- 1 (5 r - 3)$ .

$\frac{28.8 (- 1 (5 r - 3))}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 3.11.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$p' = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$

Bước 5

Thay thế $p'$ bằng $\frac{d p}{d r}$ .

$\frac{d p}{d r} = - \frac{28.8 (5 r - 3)}{{(r + 0.6)}^{3}}$