Giải tích Ví dụ

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

Bước 2

Đạo hàm của $P$ đối với $r$ là $P'$ .

$P'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $B^{3}$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ đối với $r$ là $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ .

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ là $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ trong đó $f (r) = r$ và $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.2

Nhân $R^{2} + R r + r^{2}$ với $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $R^{2} + R r + r^{2}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.4

Vì $R^{2}$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $R^{2}$ đối với $r$ là $0$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d r} [R r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.6

Vì $R$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $R r$ đối với $r$ là $R \frac{d}{d r} [r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.8

Nhân $R$ với $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.3.10

Kết hợp $B^{3}$ và $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $B^{3} (R r)$ và $B^{3} (- r R)$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.1.2

Trừ $B^{3} R r$ khỏi $B^{3} R r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.1.3

Cộng $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ và $0$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.2.2

Nhân $r$ với $r$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.2.2.1

Di chuyển $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.2.2.2

Nhân $r$ với $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.2.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.3.3

Trừ $2 B^{3} r^{2}$ khỏi $B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 3.4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Đưa $B^{3}$ ra ngoài $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1.1

Đưa $B^{3}$ ra ngoài $B^{3} R^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 3.4.5.1.2

Đưa $B^{3}$ ra ngoài $- B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 3.4.5.1.3

Đưa $B^{3}$ ra ngoài $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 3.4.5.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = R$ và $b = r$ .

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $P'$ bằng $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$