Giải tích Ví dụ

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t^{4} + 25}$ ở dạng ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

Bước 3

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $10$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ và $g (t) = t^{4} + 25$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} + 25$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.5

Vì $25$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $25$ đối với $t$ là $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.6

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.7

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.9.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.9.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.11

Cộng $4 t^{3}$ và $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.12

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.13

Kết hợp $4$ và $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.14

Kết hợp $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.15

Di chuyển ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.16

Đưa $2$ ra ngoài $4 t^{3}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.17

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.17.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.17.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.17.3

Viết lại biểu thức.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.18

Kết hợp $10$ và $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.2.19

Nhân $2$ với $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 50$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $- 50$ đối với $t$ là $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Bước 4.3.2

Cộng $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ và $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$