Giải tích Ví dụ

$s = \sqrt{t} + 7 t^{2}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2})$

Bước 3

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{\frac{1}{2}} + 7 t^{2}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2

Tính $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}]$

Bước 4.3

Tính $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 t^{2}$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 7 (2 t)$

Bước 4.3.3

Nhân $2$ với $7$ .

$\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}} + 14 t$

Bước 4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Bước 4.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} + 14 t$

Bước 4.4.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = 14 t + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$