Giải tích Ví dụ

$s = t^{7} \tan (t - \sqrt{t})$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{t}$ ở dạng $t^{\frac{1}{2}}$ .

$s = t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{7} \tan (t - t^{\frac{1}{2}}))$

Bước 3

Đạo hàm của $s$ đối với $t$ là $s'$ .

$s'$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = t^{7}$ và $g (t) = \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$ .

$t^{7} \frac{d}{d t} [\tan (t - t^{\frac{1}{2}})] + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = \tan (t)$ và $g (t) = t - t^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $t - t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.2.2

Đạo hàm của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\sec^{2} (u)$ .

$t^{7} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t - t^{\frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t - t^{\frac{1}{2}}]) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t - t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- t^{\frac{1}{2}}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.8.3

Di chuyển $t^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t^{7}]$

Bước 4.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 7$ .

$t^{7} (\sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})) + \tan (t - t^{\frac{1}{2}}) (7 t^{6})$

Bước 4.10

Sắp xếp lại các số hạng.

$t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$s' = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$

Bước 6

Thay thế $s'$ bằng $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = t^{7} \sec^{2} (t - t^{\frac{1}{2}}) (1 - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + 7 t^{6} \tan (t - t^{\frac{1}{2}})$