Giải tích Ví dụ

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

Bước 2

Đạo hàm của $w$ đối với $p$ là $w'$ .

$w'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ là $f' (g (p)) g' (p)$ trong đó $f (p) = \log_{8} (p)$ và $g (p) = 2^{p} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\log_{8} (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2^{p} - 1$ đối với $p$ là $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ là $a^{p} \ln (a)$ trong đó $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ là hằng số đối với $p$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $p$ là $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

Bước 3.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Cộng $2^{p} \ln (2)$ và $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

Bước 3.4.2.2

Kết hợp $2^{p}$ và $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

Bước 3.4.2.3

Kết hợp $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ và $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

Bước 3.5.2

Viết lại $- 1 \ln (8)$ ở dạng $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

Bước 5

Thay thế $w'$ bằng $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$