Giải tích Ví dụ

$V = x (36 - x) (24 - 2 x)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (V) = \frac{d}{d x} (x (36 - x) (24 - 2 x))$

Bước 2

Đạo hàm của $V$ đối với $x$ là $V'$ .

$V'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x (36 - x)$ và $g (x) = 24 - 2 x$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $24 - 2 x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.2

Vì $24$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $24$ đối với $x$ là $0$ .

$x (36 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (36 - x) \frac{d}{d x} [- 2 x] + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.4

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 x$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (36 - x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (36 - x) (- 2 \cdot 1) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Nhân $- 2$ với $1$ .

$x (36 - x) \cdot - 2 + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.2.6.2

Di chuyển $- 2$ sang phía bên trái của $x (36 - x)$ .

$- 2 \cdot (x (36 - x)) + (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x (36 - x)]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 36 - x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [36 - x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $36 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.2

Vì $36$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $36$ đối với $x$ là $0$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x (- 1 \cdot 1) + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (x \cdot - 1 + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.6.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 1 \cdot x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.6.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Bước 3.4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + (36 - x) \cdot 1)$

Bước 3.4.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Nhân $36 - x$ với $1$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- x + 36 - x)$

Bước 3.4.8.2

Trừ $x$ khỏi $- x$ .

$- 2 x (36 - x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Bước 3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x + 36)$

Bước 3.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + (24 - 2 x) (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Bước 3.5.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + (24 - 2 x) \cdot 36$

Bước 3.5.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 2 x \cdot 36 - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Nhân $36$ với $- 2$ .

$- 72 x - 2 x (- x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$- 72 x + 2 x \cdot x + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.3

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 72 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 72 x + 2 x^{1 + 1} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.6

Cộng $1$ và $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} + 24 (- 2 x) - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.7

Nhân $- 2$ với $24$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x - 2 x (- 2 x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.8

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x \cdot x + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.9

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.10

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 (x^{1} x^{1}) + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.11

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{1 + 1} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.12

Cộng $1$ và $1$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 24 \cdot 36 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.13

Nhân $24$ với $36$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 2 x \cdot 36$

Bước 3.5.5.14

Nhân $36$ với $- 2$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 48 x + 4 x^{2} + 864 - 72 x$

Bước 3.5.5.15

Trừ $72 x$ khỏi $- 48 x$ .

$- 72 x + 2 x^{2} - 120 x + 4 x^{2} + 864$

Bước 3.5.5.16

Trừ $120 x$ khỏi $- 72 x$ .

$2 x^{2} - 192 x + 4 x^{2} + 864$

Bước 3.5.5.17

Cộng $2 x^{2}$ và $4 x^{2}$ .

$6 x^{2} - 192 x + 864$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$V' = 6 x^{2} - 192 x + 864$

Bước 5

Thay thế $V'$ bằng $\frac{d V}{d x}$ .

$\frac{d V}{d x} = 6 x^{2} - 192 x + 864$