Giải tích Ví dụ

$u = \ln (x^{\frac{1}{3}})$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (u) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{3}}))$

Bước 2

Đạo hàm của $u$ đối với $x$ là $u'$ .

$u'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.1.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Bước 3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Bước 3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Bước 3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Bước 3.6.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Bước 3.8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Bước 3.9

Nhân $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ với $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}$

Bước 3.10

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot x^{\frac{1}{3}}}$

Bước 3.10.2

Di chuyển $x^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Bước 3.11

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1

Nhân $x^{\frac{1}{3}}$ với $x^{\frac{2}{3}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.11.1.1

Di chuyển $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{3 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}})}$

Bước 3.11.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Bước 3.11.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Bước 3.11.1.4

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{3}{3}}}$

Bước 3.11.1.5

Chia $3$ cho $3$ .

$\frac{1}{3 x^{1}}$

Bước 3.11.2

Rút gọn $3 x^{1}$ .

$\frac{1}{3 x}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$u' = \frac{1}{3 x}$

Bước 5

Thay thế $u'$ bằng $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x}$