Giải tích Ví dụ

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

Bước 2

Đạo hàm của $f$ đối với $r$ là $f'$ .

$f'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ là $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ trong đó $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ và $g (r) = 4 r^{4} - 7$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 r^{4} - 7$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.2

Vì $4$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $4 r^{4}$ đối với $r$ là $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.5

Vì $- 7$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $r$ là $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Cộng $16 r^{3}$ và $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.6.2

Di chuyển $16$ sang phía bên trái của $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ .

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

Bước 3.2.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.8

Vì $- 6$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- 6 r^{9}$ đối với $r$ là $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.10

Nhân $9$ với $- 6$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.11

Vì $- 1$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $r$ là $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.12

Cộng $- 54 r^{8}$ và $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

Bước 3.2.13

Vì $- 9$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $- \frac{9}{r^{2}}$ đối với $r$ là $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

Bước 3.2.14

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.14.1

Viết lại $\frac{1}{r^{2}}$ ở dạng ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

Bước 3.2.14.2

Nhân các số mũ trong ${(r^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.14.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

Bước 3.2.14.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

Bước 3.2.15

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

Bước 3.2.16

Nhân $- 2$ với $- 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

Bước 3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Nhân $- 6$ với $16$ .

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.2

Nhân $r^{9}$ với $r^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.2.1

Di chuyển $r^{3}$ .

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.2.3

Cộng $3$ và $9$ .

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.3

Nhân $16$ với $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.4

Nhân $- 1$ với $16$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.5

Kết hợp $- 16$ và $\frac{9}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.6

Nhân $- 16$ với $9$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.8

Kết hợp $r^{3}$ và $\frac{144}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.9

Di chuyển $144$ sang phía bên trái của $r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $r^{3}$ và $r^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.10.1

Đưa $r^{2}$ ra ngoài $144 r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.10.2.1

Nhân với $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.10.2.4

Chia $144 r$ cho $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.11

Nhân $144$ với $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

Bước 3.3.4.12

Kết hợp $18$ và $\frac{1}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

Bước 3.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Bước 3.3.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Khai triển $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Bước 3.3.6.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

Bước 3.3.6.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.2

Nhân $r^{8}$ với $r^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.2.1

Di chuyển $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.2.3

Cộng $4$ và $8$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.3

Nhân $- 54$ với $4$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.4

Nhân $- 7$ với $- 54$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.6

Nhân $4 \frac{18}{r^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.6.1

Kết hợp $4$ và $\frac{18}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.6.2

Nhân $4$ với $18$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.7

Triệt tiêu thừa số chung $r^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.7.1

Đưa $r^{3}$ ra ngoài $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.7.3

Viết lại biểu thức.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

Bước 3.3.6.2.8

Nhân $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.2.8.1

Kết hợp $\frac{18}{r^{3}}$ và $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

Bước 3.3.6.2.8.2

Nhân $18$ với $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

Bước 3.3.6.2.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Bước 3.3.7

Trừ $216 r^{12}$ khỏi $- 96 r^{12}$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

Bước 3.3.8

Trừ $144 r$ khỏi $72 r$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

Bước 5

Thay thế $f'$ bằng $\frac{d f}{d r}$ .

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$