Giải tích Ví dụ

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{3} t^{3}$ đối với $s$ là $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{3}$ và $g (s) = t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d s} [t]$ ở dạng $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.4

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.6

Kết hợp $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ và $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.7

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.8

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.2.8.2

Chia $t^{2} t'$ cho $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $- 5 t^{2}$ đối với $s$ là $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{2}$ và $g (s) = t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d s} [t]$ ở dạng $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $16$ không đổi đối với $s$ , nên đạo hàm của $16 t$ đối với $s$ là $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{d}{d s} [t]$ ở dạng $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $8$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $8$ đối với $s$ là $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

Bước 3.5.2

Cộng $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ và $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

Bước 5

Giải tìm $t'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

Bước 5.2

Đưa $t'$ ra ngoài $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $t'$ ra ngoài $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $t'$ ra ngoài $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $t'$ ra ngoài $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Bước 5.2.4

Đưa $t'$ ra ngoài $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

Bước 5.2.5

Đưa $t'$ ra ngoài $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

Bước 5.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Phân tích $t^{2} - 10 t + 16$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $16$ và tổng của chúng là $- 10$ .

$- 8, - 2$

Bước 5.3.1.2

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

Bước 5.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ cho $(t - 8) (t - 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ cho $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $t - 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $t - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $t'$ cho $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

Bước 6

Thay thế $t'$ bằng $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$