Giải tích Ví dụ

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

Bước 3

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \cos (y)$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.1.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Bước 3.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Bước 3.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Bước 3.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Bước 3.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Bước 3.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 3.4.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4

Vì $6$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $6$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 6

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 6.2

Trừ $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ cho $- \sin (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ cho $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Bước 6.3.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

Bước 6.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

Bước 6.3.3.2

Tách các phân số.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Bước 6.3.3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (x)}$ sang $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

Bước 6.3.3.4

Chia $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

Bước 6.3.3.5

Kết hợp $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ và $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$