Giải tích Ví dụ

$x y - e^{x y} = 7$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y - e^{x y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x$ và $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Bước 2.2.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Bước 2.2.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- e^{x y}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

Bước 2.3.3

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

Bước 2.3.5

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

Bước 2.3.6

Nhân $x$ với $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

Bước 3

Vì $7$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $7$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $x'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $x e^{x y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

Bước 5.2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Bước 5.3

Đưa $y x'$ ra ngoài $y x' - y x' e^{x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y x'$ ra ngoài $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

Bước 5.3.2

Đưa $y x'$ ra ngoài $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Bước 5.3.3

Đưa $y x'$ ra ngoài $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Bước 5.4

Viết lại $- 1 e^{x y}$ ở dạng $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

Bước 5.5

Chia mỗi số hạng trong $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ cho $y (1 - e^{x y})$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Chia mỗi số hạng trong $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ cho $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 5.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 5.5.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $1 - e^{x y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 5.5.2.2.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 5.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$