Giải tích Ví dụ

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

Bước 2

Đạo hàm của $V$ đối với $r$ là $V'$ .

$V'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $p$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $p r^{2} (2 p r - 24)$ đối với $r$ là $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ là $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ trong đó $f (r) = r^{2}$ và $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 p r - 24$ đối với $r$ là $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.2

Vì $2 p$ không đổi đối với $r$ , nên đạo hàm của $2 p r$ đối với $r$ là $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.5

Vì $- 24$ là hằng số đối với $r$ , đạo hàm của $- 24$ đối với $r$ là $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Cộng $2 p$ và $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.6.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

Bước 3.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ là $n r^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

Bước 3.3.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

Bước 3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.2

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.6

Nhân $2$ với $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.7

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.8

Nâng $r$ lên lũy thừa $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.10

Cộng $1$ và $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.11

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.12

Nâng $p$ lên lũy thừa $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.13

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.14

Cộng $1$ và $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

Bước 3.4.4.15

Nhân $2$ với $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Bước 3.4.4.16

Cộng $2 p^{2} r^{2}$ và $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

Bước 3.4.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

Bước 5

Thay thế $V'$ bằng $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$