Giải tích Ví dụ

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Bước 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + y x^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = x^{2}$ và $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.5

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.2.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Bước 2.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Bước 2.3.6

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Bước 2.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1.1

Cộng $2 y x x'$ và $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Bước 2.4.1.2

Cộng $x^{2}$ và $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Bước 2.4.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Bước 3

Vì $6$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $6$ đối với $y$ là $0$ .

$0$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Trừ $2 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $4 x y x' = - 2 x^{2}$ cho $4 x y$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $4 x y x' = - 2 x^{2}$ cho $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Bước 5.2.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Bước 5.2.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Bước 5.2.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Bước 5.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Bước 5.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Bước 5.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Bước 5.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Bước 5.2.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$