Giải tích Ví dụ

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Bước 2

Đạo hàm của $f$ đối với $x$ là $f'$ .

$f'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Bước 3.2.3

Nhân $12$ với $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $4 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ đối với $x$ là $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Bước 3.3.3

Vì $\frac{2}{7 y}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{7 y}$ đối với $x$ là $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Bước 3.3.5

Nhân $\frac{2}{7 y}$ với $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Bước 3.3.6

Kết hợp $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ và $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Bước 3.3.7

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Bước 3.3.8

Kết hợp $4$ và $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Bước 3.3.9

Nhân $2$ với $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Bước 3.3.10

Kết hợp $y$ và $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Bước 3.3.11

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Bước 3.3.11.2

Viết lại biểu thức.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Bước 5

Thay thế $f'$ bằng $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$