Giải tích Ví dụ

$x = \sqrt[3]{15000 - p^{3}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[3]{15000 - p^{3}}$ ở dạng ${(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x = {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Bước 2

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 4

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ và $g (x) = 15000 - p^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $15000 - p^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $15000 - p^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.5.2

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.6.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.2.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.6.2.2

Di chuyển ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Bước 4.6.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $15000 - p^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Bước 4.6.4

Vì $15000$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $15000$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Bước 4.6.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- p^{3}]$

Bước 4.6.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- p^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [p^{3}])$

Bước 4.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = p$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [p]))$

Bước 4.7.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Bước 4.7.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Bước 4.8

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 (p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Bước 4.8.2

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (p^{2} \frac{d}{d x} [p])$

Bước 4.8.3

Kết hợp $p^{2}$ và $\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{p^{2} \cdot - 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.8.4

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $p^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot p^{2}}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.8.5

Đưa $3$ ra ngoài $- 3 p^{2}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.9

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (- p^{2})}{3 ({(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.9.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.9.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Bước 4.11

Viết lại $\frac{d}{d x} [p]$ ở dạng $p'$ .

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} p'$

Bước 4.12

Kết hợp $p'$ và $\frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{p' p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 4.13

Sắp xếp lại các thừa số trong $p' p^{2}$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 5

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Bước 6

Giải tìm $p'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ .

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Bước 6.2

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ cho $- 1$ .

$\frac{- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.2.2

Chia $\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ cho $1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Bước 6.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Chia $1$ cho $- 1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Bước 6.3

Nhân cả hai vế với ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Bước 6.5

Chia mỗi số hạng trong $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ cho $p^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Chia mỗi số hạng trong $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ cho $p^{2}$ .

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Bước 6.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $p^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Bước 6.5.2.1.2

Chia $p'$ cho $1$ .

$p' = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Bước 6.5.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$p' = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Bước 7

Thay thế $p'$ bằng $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$