Giải tích Ví dụ

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Bước 2

Đạo hàm của $p$ đối với $t$ là $p'$ .

$p'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Vì $500$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ đối với $t$ là $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Bước 3.1.2

Viết lại $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ ở dạng ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ .

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = t^{- 1}$ và $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Nhân $- 1$ với $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.3.3

Vì $12$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $12$ đối với $t$ là $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.3.4

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Bước 3.3.5

Vì $5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $5 e^{- 0.5 t}$ đối với $t$ là $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Bước 3.3.6

Nhân $5$ với $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 0.5 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Bước 3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $- 0.5$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 0.5 t$ đối với $t$ là $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 3.5.2

Nhân $- 0.5$ với $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Bước 3.5.4

Nhân $e^{- 0.5 t}$ với $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Bước 3.6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Bước 3.6.3

Nhân $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.3.1

Kết hợp $\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ và $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Bước 3.6.3.2

Kết hợp $\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ và $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Bước 5

Thay thế $p'$ bằng $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$