Giải tích Ví dụ

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Bước 2

Đạo hàm của $p$ đối với $q$ là $p'$ .

$p'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $4$ không đổi đối với $q$ , nên đạo hàm của $4 q e^{q^{9}}$ đối với $q$ là $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ là $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ trong đó $f (q) = q$ và $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ là $f' (g (q)) g' (q)$ trong đó $f (q) = e^{q}$ và $g (q) = q^{9}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ là $n q^{n - 1}$ trong đó $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.5

Nâng $q$ lên lũy thừa $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $8$ và $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.7.2

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ là $n q^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Bước 3.9

Nhân $e^{q^{9}}$ với $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Bước 3.10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Bước 3.10.2

Nhân $9$ với $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Bước 3.10.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Bước 3.10.4

Sắp xếp lại các thừa số trong $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Bước 5

Thay thế $p'$ bằng $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$