Giải tích Ví dụ

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

Bước 2

Đạo hàm của $f$ đối với $y$ là $f'$ .

$f'$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} \sin (y + z) - z$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $e^{x}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $e^{x} \sin (y + z)$ đối với $y$ là $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \sin (y)$ và $g (y) = y + z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y + z$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.2.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + z$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + z$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.5

Vì $z$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $z$ đối với $y$ là $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.6

Cộng $1$ và $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.2.7

Nhân $\cos (y + z)$ với $1$ .

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- z$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- z$ đối với $y$ là $0$ .

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

Bước 3.3.2

Cộng $e^{x} \cos (y + z)$ và $0$ .

$e^{x} \cos (y + z)$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

Bước 5

Thay thế $f'$ bằng $\frac{d f}{d y}$ .

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$