Giải tích Ví dụ

$7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$

Bước 1

Vì $7$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$ đối với $t$ là $7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$ .

$7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ là $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ trong đó $f (t) = e^{- 0.2 t}$ và $g (t) = 1 - 0.2 t$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [1 - 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - 0.2 t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $t$ , đạo hàm của $1$ đối với $t$ là $0$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (0 + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.4

Vì $- 0.2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 0.2 t$ đối với $t$ là $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Nhân $- 0.2$ với $1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2 + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 3.6.2

Di chuyển $- 0.2$ sang phía bên trái của $e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 \cdot e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = - 0.2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 0.2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- 0.2 t$ đối với $t$ là $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1))$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 0.2$ với $1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2)$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 0.2$ sang phía bên trái của $(1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot ((1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}))$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (- 0.2 \cdot 1 - 0.2 (- 0.2 t)) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t} - 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Nhân $- 0.2$ với $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4.2

Nhân $- 0.2$ với $1$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4.3

Nhân $- 0.2$ với $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4.4

Nhân $- 0.2$ với $- 0.2$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (0.04 t e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4.5

Nhân $0.04$ với $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 0.28 (t e^{- 0.2 t})$

Bước 6.4.6

Trừ $1.4 e^{- 0.2 t}$ khỏi $- 1.4 e^{- 0.2 t}$ .

$- 2.8 e^{- 0.2 t} + 0.28 t e^{- 0.2 t}$

Bước 6.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$

Bước 6.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$ .

$0.28 t e^{- 0.2 t} - 2.8 e^{- 0.2 t}$