Giải tích Ví dụ

$\sqrt{2 a x - x^{2}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2 a x - x^{2}}$ ở dạng ${(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d a} [{(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ là $f' (g (a)) g' (a)$ trong đó $f (a) = a^{\frac{1}{2}}$ và $g (a) = 2 a x - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 a x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 a x - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(2 a x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [2 a x - x^{2}]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 a x - x^{2}$ đối với $a$ là $\frac{d}{d a} [2 a x] + \frac{d}{d a} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [2 a x] + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

Bước 9

Vì $2 x$ không đổi đối với $a$ , nên đạo hàm của $2 a x$ đối với $a$ là $2 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ là $n a^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

Bước 11

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d a} [- x^{2}])$

Bước 12

Vì $- x^{2}$ là hằng số đối với $a$ , đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $a$ là $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Bước 13

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Bước 13.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Bước 13.3

Kết hợp $\frac{2}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2 {(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{x}{{(2 a x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 13.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x}{{(- x^{2} + 2 a x)}^{\frac{1}{2}}}$