Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$ ở dạng ${(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [{(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ là $f' (g (s)) g' (s)$ trong đó $f (s) = s^{\frac{1}{2}}$ và $g (s) = \frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ là $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ trong đó $f (s) = s^{2} + 1$ và $g (s) = s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) \frac{d}{d s} [s^{2} + 1] - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $s^{2} + 1$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.3

Vì $1$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $1$ đối với $s$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + 0) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Cộng $2 s$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $s^{2} + 4$ đối với $s$ là $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ là $n s^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.7

Vì $4$ là hằng số đối với $s$ , đạo hàm của $4$ đối với $s$ là $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + 0)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.8.1

Cộng $2 s$ và $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.8.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

Bước 9.8.3

Nhân $\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 9.8.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 \cdot {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(2 s^{2} + 2 \cdot 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s + (- 2 s^{2} - 2 \cdot 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.1

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 (s^{1} s^{2}) + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 s^{1 + 2} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.4

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.5

Nâng $s$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 (s^{1} s^{2}) - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{1 + 2} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.7

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.8

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.9

Trừ $2 s^{3}$ khỏi $2 s^{3}$ .

$\frac{8 s + 0 - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.10

Cộng $8 s$ và $0$ .

$\frac{8 s - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.11

Trừ $2 s$ khỏi $8 s$ .

$\frac{6 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.12

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 s$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 ({(s^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.13

Nhân $\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ với $\frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 s {(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.14

Di chuyển ${(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15

Nhân ${(s^{2} + 4)}^{2}$ với ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.15.1

Di chuyển ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.7.15.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 10.7.15.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$