Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ và $g (x) = {(2 x - 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{4}] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = 2 x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 x - 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (4 {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$4 \cdot {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 1] + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.6

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} (2 + 0) + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$4 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} \cdot 2 + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 x + 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + {(2 x - 1)}^{4} (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 \cdot {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Bước 5.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.3

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.5

Nhân $2$ với $1$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Bước 5.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Bước 5.7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Cộng $2$ và $0$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 3 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Bước 5.7.2

Nhân $2$ với $3$ .

$8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Đưa $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ ra ngoài $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3} + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ ra ngoài $8 {(2 x + 1)}^{3} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$

Bước 6.1.2

Đưa $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ ra ngoài $6 {(2 x - 1)}^{4} {(2 x + 1)}^{2}$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$

Bước 6.1.3

Đưa $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ ra ngoài $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1)) + 2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$

Bước 6.2

Sắp xếp lại các thừa số của $2 {(2 x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$ .

$2 {(2 x - 1)}^{3} {(2 x + 1)}^{2} (4 (2 x + 1) + 3 (2 x - 1))$