Giải tích Ví dụ

$f (x) = {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{6}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ là $f' (g (v)) g' (v)$ trong đó $f (v) = v^{6}$ và $g (v) = \frac{v}{v^{3} + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{d}{d v} [\frac{v}{v^{3} + 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ là $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ trong đó $f (v) = v$ và $g (v) = v^{3} + 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \frac{d}{d v} [v] - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{(v^{3} + 1) \cdot 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.2

Nhân $v^{3} + 1$ với $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v \frac{d}{d v} [v^{3} + 1]}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $v^{3} + 1$ đối với $v$ là $\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (\frac{d}{d v} [v^{3}] + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ là $n v^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + \frac{d}{d v} [1])}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.5

Vì $1$ là hằng số đối với $v$ , đạo hàm của $1$ đối với $v$ là $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2} + 0)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Cộng $3 v^{2}$ và $0$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - v (3 v^{2})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 3.6.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v \cdot v^{2}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 4

Nhân $v$ với $v^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $v^{2}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v)}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2

Nhân $v^{2}$ với $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Nâng $v$ lên lũy thừa $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 (v^{2} v^{1})}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 4.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{2 + 1}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 4.3

Cộng $2$ và $1$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{v^{3} + 1 - 3 v^{3}}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 5

Trừ $3 v^{3}$ khỏi $v^{3}$ .

$6 {(\frac{v}{v^{3} + 1})}^{5} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{v}{v^{3} + 1}$ .

$6 \frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ .

$\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}} \cdot \frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.2

Nhân $\frac{6 v^{5}}{{(v^{3} + 1)}^{5}}$ với $\frac{- 2 v^{3} + 1}{{(v^{3} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5} {(v^{3} + 1)}^{2}}$

Bước 6.2.3

Nhân ${(v^{3} + 1)}^{5}$ với ${(v^{3} + 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{5 + 2}}$

Bước 6.2.3.2

Cộng $5$ và $2$ .

$\frac{6 v^{5} (- 2 v^{3} + 1)}{{(v^{3} + 1)}^{7}}$