Giải tích Ví dụ

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

Bước 1

Di chuyển $z^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

Bước 2

Nhân các số mũ trong ${(z^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

Bước 2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

Bước 3

Khai triển $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.4

Trừ $4$ khỏi $2$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.5

Nâng $z$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 3.7

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 5

Vì $3$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z^{- 2}$ đối với $z$ là $- z^{- 1}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 7

Vì $12$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $12$ ra khỏi tích phân.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z^{- 3}$ đối với $z$ là $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $z^{- 2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 9.2

Di chuyển $z^{- 2}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Bước 10

Vì $- 9$ không đổi đối với $z$ , hãy di chuyển $- 9$ ra khỏi tích phân.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

Bước 11

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $z^{- 4}$ đối với $z$ là $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Kết hợp $z^{- 3}$ và $\frac{1}{3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

Bước 12.1.2

Di chuyển $z^{- 3}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

Bước 12.2

Rút gọn.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

Bước 12.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $- 1$ với $- 9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

Bước 12.3.2

Kết hợp $9$ và $\frac{1}{3 z^{3}}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

Bước 12.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Bước 12.3.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 z^{3}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

Bước 12.3.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Bước 12.3.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$