Giải tích Ví dụ

$\frac{4 + 6 x}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{4 + 6 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\int (4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4

Khai triển $(4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.2

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) d x$

Bước 4.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.4

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Bước 4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Bước 4.6

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 4.7

Sắp xếp lại $4 x^{- \frac{1}{2}}$ và $6 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 6

Vì $6$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $6$ ra khỏi tích phân.

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 8

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.2

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Đưa $3$ ra ngoài $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.3.2.4

Chia $4$ cho $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10.2.4

Nhân $4$ với $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$