Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Kết hợp $d$ và $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Bước 1.2

Kết hợp $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ và $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 2

Vì $d$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 3

Giả sử $u = x^{2} + 2$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Bước 3.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 3.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 3.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Bước 6

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Bước 6.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Di chuyển $u^{\frac{3}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 6.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 6.2.2.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Bước 6.2.2.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Bước 6.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Viết lại $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ .

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Bước 8.2.3

Nhân $\frac{d}{2}$ với $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 8.2.6

Viết lại biểu thức.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$