Giải tích Ví dụ

$3 e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int e^{- 3 x} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{2} d x$

Bước 2

Giả sử $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Sau đó $d u_{2} = - 15 e^{- 3 x} d x$ , nên $- \frac{1}{15} d u_{2} = e^{- 3 x} d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{2} = 7 + 5 e^{- 3 x}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$\frac{d}{d x} [7 + 5 e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 + 5 e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [5 e^{- 3 x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $5 e^{- 3 x}$ đối với $x$ là $5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $- 3 x$ .

$0 + 5 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 2.1.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + 5 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 2.1.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $- 3 x$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Bước 2.1.3.3

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 2.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1))$

Bước 2.1.3.5

Nhân $- 3$ với $1$ .

$0 + 5 (e^{- 3 x} \cdot - 3)$

Bước 2.1.3.6

Di chuyển $- 3$ sang phía bên trái của $e^{- 3 x}$ .

$0 + 5 (- 3 \cdot e^{- 3 x})$

Bước 2.1.3.7

Nhân $- 3$ với $5$ .

$0 - 15 e^{- 3 x}$

Bước 2.1.4

Trừ $15 e^{- 3 x}$ khỏi $0$ .

$- 15 e^{- 3 x}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$3 \int {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 15} d u_{2}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$3 \int {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{15}) d u_{2}$

Bước 3.2

Kết hợp ${u_{2}}^{2}$ và $\frac{1}{15}$ .

$3 \int - \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$3 (- \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2})$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $3$ .

$- 3 \int \frac{{u_{2}}^{2}}{15} d u_{2}$

Bước 6

Vì $\frac{1}{15}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{15}$ ra khỏi tích phân.

$- 3 (\frac{1}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Kết hợp $\frac{1}{15}$ và $- 3$ .

$\frac{- 3}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 3$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{15} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $15$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 7.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} \int {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của ${u_{2}}^{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- \frac{1}{5} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C$

Bước 9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 5} {u_{2}}^{3} + C$

Bước 9.2.2

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{1}{15} {u_{2}}^{3} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $7 + 5 e^{- 3 x}$ .

$- \frac{1}{15} {(7 + 5 e^{- 3 x})}^{3} + C$