Giải tích Ví dụ

$y = x {(x^{3} + 7)}^{5}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 7)}^{5}] + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{5}$ và $g (x) = x^{3} + 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{3} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{3} + 7$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 7]) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2} + 0)) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Cộng $3 x^{2}$ và $0$ .

$x (5 {(x^{3} + 7)}^{4} (3 x^{2})) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.4.2

Nhân $3$ với $5$ .

$x (15 {(x^{3} + 7)}^{4} x^{2}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$x^{2} x^{1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$x^{2 + 1} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 6

Cộng $2$ và $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5} \cdot 1$

Bước 8

Nhân ${(x^{3} + 7)}^{5}$ với $1$ .

$x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Đưa ${(x^{3} + 7)}^{4}$ ra ngoài $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4}) + {(x^{3} + 7)}^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Đưa ${(x^{3} + 7)}^{4}$ ra ngoài $x^{3} (15 {(x^{3} + 7)}^{4})$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{5}$

Bước 9.1.2

Đưa ${(x^{3} + 7)}^{4}$ ra ngoài ${(x^{3} + 7)}^{5}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$

Bước 9.1.3

Đưa ${(x^{3} + 7)}^{4}$ ra ngoài ${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15)) + {(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} + 7)$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (x^{3} \cdot (15) + x^{3} + 7)$

Bước 9.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Di chuyển $15$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (15 \cdot x^{3} + x^{3} + 7)$

Bước 9.2.2

Cộng $15 x^{3}$ và $x^{3}$ .

${(x^{3} + 7)}^{4} (16 x^{3} + 7)$